Биздин Ааламдын жалпак, сфералык же гиперболикалык формасы?

2024 Автор: Seth Attwood | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-16 16:10

Биздин оюбузча, аалам чексиз. Бүгүнкү күндө биз Жер шар формасында экенин билебиз, бирок Ааламдын формасы жөнүндө сейрек ойлонобуз. Геометрияда "тааныш" чексиз мейкиндикке альтернатива катары көптөгөн үч өлчөмдүү фигуралар бар. Авторлор айырманы эң жеткиликтүү түрдө түшүндүрүшөт.

Түнкү асманды карап, космос бардык багыттар боюнча түбөлүккө бара жаткансыйт. Биз Ааламды ушундай элестетебиз, бирок бул чындык эмес. Анткени, бир кезде баары эле Жерди тегиз деп ойлошкон: жер бетинин ийрилиги байкалбайт, ал эми Жер тегерек деген түшүнүк түшүнүксүз болуп көрүнгөн.

Бүгүнкү күндө биз Жер шар формасында экенин билебиз. Бирок биз ааламдын формасы жөнүндө сейрек ойлонобуз. Сфера жалпак жерди алмаштыргандыктан, башка үч өлчөмдүү формалар "тааныш" чексиз мейкиндикке альтернативаларды сунуштайт.

Ааламдын формасы жөнүндө эки суроо берсе болот - өзүнчө, бирок бири-бири менен байланышкан. Алардын бири геометрия жөнүндө - бурчтарды жана аймактарды кылдат эсептөө. Дагы бир топология жөнүндө: өзүнчө бөлүктөр кантип бирдиктүү формага биригет.

Космологиялык маалыматтар Ааламдын көзгө көрүнгөн бөлүгү жылмакай жана бир тектүү экенин көрсөтүп турат. Космостун локалдык түзүлүшү ар бир чекитте жана бардык багытта дээрлик бирдей көрүнөт. Бул мүнөздөмөлөргө үч гана геометриялык фигуралар туура келет - жалпак, сфералык жана гиперболалык. Келгиле, бул фигураларды кезеги менен карап көрөлү, космологиялык маалыматтарга негизделген кээ бир топологиялык ойлорду жана тыянактарды.

Жалпак аалам

Чынында, бул мектеп геометриясы. Үч бурчтуктун бурчтары 180 градуска чейин кошулат, ал эми айлананын аянты πr2. Жалпак үч өлчөмдүү форманын эң жөнөкөй мисалы - кадимки чексиз мейкиндик, математиктер аны Евклид деп аташат, бирок башка жалпак варианттар бар.

Бул формаларды элестетүү оңой эмес, бирок биз интуициябызды үч өлчөмдүн ордуна эки өлчөмдүү ой жүгүртүү менен байланыштыра алабыз. Кадимки Евклиддик тегиздиктен тышкары, биз тегиздиктин бир бөлүгүн кесип, анын четтерин жабыштырып, башка жалпак фигураларды түзө алабыз. Төрт бурчтуу кагазды кесип, анын карама-каршы четтерин скотч менен чаптайлы дейли. Эгерде сиз үстүнкү четин ылдыйкы четине чаптасаңыз, цилиндр аласыз.

Сиз ошондой эле оң четин солго чаптасаңыз болот - анда биз пончик алабыз (математиктер бул форманы торус деп аташат).

Балким, сиз каршы чыгасыз: "Бир нерсе өтө жалпак эмес." Жана сиз туура болот. Биз жалпак торусту бир аз алдап жаттык. Эгер чындап эле ушундай жол менен бир барак кагаздан торус жасоого аракет кылсаңыз, кандайдыр бир кыйынчылыктарга туш болосуз. Цилиндрди жасоо оңой, бирок анын учтарын жабыштыруу иштебейт: кагаз торустун ички тегерекчесин бойлой бырышат, бирок ал сырткы тегерекчеге жетпейт. Ошентип, кандайдыр бир ийкемдүү материалды алуу керек. Бирок сунуу узундукту жана бурчтарды, демек бүт геометрияны өзгөртөт.

Кадимки үч өлчөмдүү мейкиндиктин ичиндеги жалпак материалдан геометрияны бурмалап туруп, чыныгы жылмакай физикалык торус куруу мүмкүн эмес. Ал жалпак торустун ичинде жашоо кандай экени жөнүндө абстракттуу божомолдоо бойдон калууда.

Өзүңүздүн ааламы жалпак торус болгон эки өлчөмдүү жан экениңизди элестетиңиз. Бул ааламдын формасы жалпак кагазга негизделгендиктен, бардык геометриялык фактылар биз ошол эле бойдон калууга көнүп калганбыз - жок дегенде чектелген масштабда: үч бурчтуктун бурчтары 180 градуска чейин кошулат жана башкалар. Бирок кыркуу жана чаптоо аркылуу глобалдык топологиянын өзгөрүшү менен жашоо кескин өзгөрөт.

Баштоо үчүн, торустун түз сызыктары бар, алар айланып, баштапкы чекитке кайтып келет.

Бурмаланган торордо алар ийри көрүнөт, бирок жалпак торустун тургундарына түз көрүнөт. Жана жарык түз сызыкта тарагандыктан, кандайдыр бир тарапка түз карасаңыз, өзүңүздү артыңыздан көрөсүз.

Алгачкы кагазда жарык сизден өтүп, сол четине өтүп, анан видео оюнундагыдай оң жагында кайра пайда болуп жаткандай.

Бул тууралуу ойлонуп көрүүнүн дагы бир жолу: сиз (же жарык нуру) төрт кырдын бирин кесип өтүп, өзүңүздү жаңы бөлмөдө табасыз, бирок чындыгында бул бир эле бөлмө, башка көз караш менен гана. Мындай ааламды кыдырып жүрүп, сиз түпнуска бөлмөнүн чексиз сандагы көчүрмөлөрүн кезиктиресиз.

Бул кайда карабаңыз, өзүңүздүн чексиз сандагы көчүрмөлөрдү аласыз дегенди билдирет. Бул күзгү эффектинин бир түрү, бул көчүрмөлөр гана чагылдырылган эмес.

Торуста алардын ар бири тигил же бул циклге туура келет, алар боюнча жарык кайра сизге кайтып келет.

Ушундай эле жол менен кубдун же башка кутунун карама-каршы жактарын жабыштырып, үч өлчөмдүү жалпак торусту алабыз. Кадимки чексиз мейкиндиктин ичиндеги бул мейкиндикти биз сүрөттөй албайбыз - ал жөн эле батпай калат - бирок анын ичиндеги жашоо жөнүндө абстракттуу спекуляция жасай алабыз.

Эгерде эки өлчөмдүү торустагы жашоо бирдей тик бурчтуу бөлмөлөрдүн чексиз эки өлчөмдүү массивине окшош болсо, анда үч өлчөмдүү торустагы жашоо бирдей куб бөлмөлөрдүн чексиз үч өлчөмдүү массивине окшош. Сиз да өзүңүздүн чексиз сандагы көчүрмөлөрдү көрөсүз.

Үч өлчөмдүү торус чектүү жалпак дүйнөнүн он вариантынын бири гана. Ошондой эле чексиз жалпак дүйнөлөр бар - мисалы, чексиз цилиндрдин үч өлчөмдүү аналогу. Бул ааламдардын ар биринин өзүнүн «ой жүгүртүүлөрү» менен «күлкү бөлмөсү» болот.

Биздин аалам жалпак формалардын бири болушу мүмкүнбү?

Биз космоско караганыбызда чексиз сандагы өзүбүздүн копияларыбызды көрбөйбүз. Кандай болбосун, жалпак формаларды жок кылуу оңой эмес. Биринчиден, алардын бардыгы евклиддик мейкиндиктегидей локалдык геометрияга ээ, ошондуктан аларды жергиликтүү өлчөөлөр менен айырмалоо мүмкүн эмес.

Сиз өзүңүздүн көчүрмөңүздү көрдүңүз дейли, бул алыскы сүрөттөлүш сиздин (же бүтүндөй галактикаңыздын) алыскы өткөнгө кандай караганыңызды гана көрсөтөт, анткени жарык сизге жеткенге чейин бир топ жолду басып өткөн. Балким, биз өзүбүздүн көчүрмөлөрүбүздү көрөбүз - бирок таанылгыс болуп өзгөрдү. Мындан тышкары, ар кандай көчүрмөлөр сизден ар кандай аралыкта жайгашкандыктан, алар окшош эмес. Андан тышкары, ушунчалык алыс болгондуктан, биз дагы деле эч нерсени көрө албайбыз.

Бул кыйынчылыктарды жеңүү үчүн астрономдор адатта өздөрүнүн көчүрмөлөрүн эмес, эң алыскы көрүнгөн кубулуштагы кайталануучу өзгөчөлүктөрдү издешет - космостук микротолкундуу фон радиациясы, бул Биг Бенгдин реликти. Иш жүзүндө, бул ысык жана муздак тактардын үлгүлөрү дал келген жуп чөйрөлөрдү издөө дегенди билдирет - алар ар кайсы тараптан гана бирдей деп болжолдонууда.

Астрономдор дал ушундай издөөнү 2015-жылы Планк космостук телескобунун аркасында жүргүзүшкөн. Алар биз жалпак 3D торус же башка жалпак 3D форманын ичинде көрүүнү күткөн кокус чөйрөлөрдүн түрлөрү боюнча маалыматтарды чогултушту - пластинка деп аталат, бирок алар эч нерсе таба алышкан жок. Бул эгер биз торуда жашасак, анда ал ушунчалык чоң болуп көрүнгөндүктөн, ар кандай кайталануучу фрагменттер байкоого боло турган ааламдын сыртында жатат дегенди билдирет.

Сфералык форма

Биз эки өлчөмдүү шарлар менен абдан таанышпыз - бул шардын, апельсиндин же Жердин бети. Бирок биздин аалам үч өлчөмдүү чөйрө болсочу?

Үч өлчөмдүү чөйрөнү тартуу кыйын, бирок аны жөнөкөй аналогия менен сүрөттөп берүү оңой. Эгерде эки өлчөмдүү сфера кадимки үч өлчөмдүү мейкиндиктин кандайдыр бир борбордук чекитинен белгиленген аралыкта жайгашкан бардык чекиттердин жыйындысы болсо, үч өлчөмдүү сфера (же "трисфера") - бул кээ бир мейкиндикте белгилүү бир аралыктагы бардык чекиттердин жыйындысы. төрт өлчөмдүү мейкиндикте борбордук чекит.

Трисферанын ичиндеги жашоо жалпак мейкиндиктеги жашоодон такыр башкача. Аны элестетүү үчүн эки өлчөмдүү чөйрөдө эки өлчөмдүү жан экениңизди элестетиңиз. Эки өлчөмдүү сфера бүт аалам, ошондуктан сизди курчап турган үч өлчөмдүү мейкиндикти көрө албайсыз жана ага кире албайсыз. Бул сфералык ааламда жарык эң кыска жол менен жүрөт: чоң тегерекчелерде. Бирок бул чөйрөлөр сизге түз көрүнөт.

Эми сиз 2D досуңуз менен Түндүк уюлда сейилдеп жүргөнүңүздү элестетиңиз. Алыстап, алгач ал сиздин көрүү чөйрөңүздө акырындык менен азаят - кадимки дүйнөдөгүдөй, биз көнүп калгандай тез болбосо да. Себеби сиздин көрүү чөйрөңүз чоңойгон сайын досуңуз аны азыраак жана азыраак ээлейт.

Бирок досуңуз экваторду кесип өтөөр замат таң калыштуу нерсе болот: ал чоңоюп баштайт, бирок чындыгында ал алыстап кете берет. Себеби, алардын сиздин көрүү чөйрөңүздө ээлеген пайызы көбөйүүдө.

Түштүк уюлдан үч метр алыстыкта досуңуз сизден үч метр тургандай көрүнөт.

Түштүк уюлга жеткенде, ал толугу менен көрүнгөн горизонтуңузду толуктайт.

Ал эми Түштүк уюлда эч ким жок болгондо, сиздин визуалдык горизонтуңуз дагы чоочун болуп калат - бул сизсиз. Себеби, сиз чыгарган нур кайра келгенге чейин бүткүл шарга тарайт.

Бул 3D чөйрөсүндөгү жашоого түздөн-түз таасирин тийгизет. Трисферанын ар бир чекитинин карама-каршы жагы бар жана ал жерде кандайдыр бир нерсе болсо, биз аны бүт асманда көрөбүз. Эгерде ал жерде эч нерсе жок болсо, анда биз өзүбүздү арткы планда көрөбүз – сырткы көрүнүшүбүз шарга жабышып, анан ичин сыртка буруп, бүт горизонтко толтургандай.

Бирок трисфера сфералык геометриянын негизги модели болсо да, ал мүмкүн болгон жалгыз мейкиндиктен алыс. Евклид мейкиндигинин бөлүктөрүн кесүү жана жабыштырып ар кандай жалпак моделдерди курганыбыздай, трисферанын ылайыктуу бөлүктөрүн жабыштырып, сфералык моделдерди да кура алабыз. Бул чапталган фигуралардын ар бири торус сыяктуу "күлкү бөлмөсү" эффектине ээ болот, сфералык формадагы бөлмөлөрдүн саны гана чектүү болот.

Биздин аалам сфералык болсочу?

Эң нарциссисттик адамдарыбыз да өзүбүздү түнкү асмандын ордуна фон катары көрбөйбүз. Бирок, жалпак торустагыдай эле, биз бир нерсени көрбөй жатканыбыз анын жок экенин билдирбейт. Сфералык ааламдын чектери көрүнүүчү дүйнөнүн чегинен чоңураак болушу мүмкүн, ал эми фон жөн эле көрүнбөйт.

Бирок торустан айырмаланып, сфералык ааламды жергиликтүү өлчөөлөрдүн жардамы менен аныктоого болот. Сфералык формалар чексиз Евклид мейкиндигинен глобалдуу топологиясы менен гана эмес, кичинекей геометриясы менен да айырмаланат. Мисалы, сфералык геометриядагы түз сызыктар чоң тегерек болгондуктан, ал жердеги үч бурчтуктар Евклиддикине караганда «толук» жана алардын бурчтарынын суммасы 180 градустан ашат.

Негизинен, космостук үч бурчтуктарды өлчөө - ааламдын ийилгендигин текшерүүнүн негизги жолу. Космостук микротолкундуу фондогу ар бир ысык же муздак чекит үчүн үч бурчтуктун үч тарабын түзгөн анын диаметри жана Жерден алыстыгы белгилүү. Түнкү асмандагы так пайда кылган бурчту өлчөй алабыз - бул үч бурчтуктун бурчтарынын бири болот. Андан кийин биз тараптын узундугу менен бурчтардын суммасынын айкалышы тегиздик, сфералык же гиперболикалык геометрияга туура келерин текшере алабыз (мында үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 градустан аз).

Бул эсептөөлөрдүн көбү, башка ийрилик өлчөөлөрү менен бирге, аалам толугу менен жалпак же ага абдан жакын деп ойлошот. Жакында бир изилдөө тобу 2018-жылдагы Планк телескобунан алынган кээ бир маалыматтар сфералык ааламдын пайдасына көбүрөөк сүйлөйт деп сунушташкан, бирок башка изилдөөчүлөр келтирилген далилдер статистикалык катага байланыштуу болушу мүмкүн деп ырасташкан.

Гиперболикалык геометрия

Өзүнө жабылган шардан айырмаланып, гиперболикалык геометрия же терс ийриликтүү мейкиндик сыртка ачылат. Бул кең кырдуу калпактын, коралл рифинин жана ээрдин геометриясы. Гиперболалык геометриянын негизги модели тегиз евклид сыяктуу чексиз мейкиндик. Бирок гиперболалык форма жалпак формага караганда сыртка тезирээк кеңейгендиктен, анын геометриясын бурмалоону каалабасак, кадимки Евклид мейкиндигине эки өлчөмдүү гиперболикалык тегиздикти да батырууга эч кандай жол жок. Бирок Пуанкаре диски деп аталган гиперболикалык тегиздиктин бурмаланган сүрөтү бар.

Биздин көз карашыбыз боюнча, чек ара тегерекчесинин жанындагы үч бурчтуктар борборго жакын жайгашкан үч бурчтуктарга караганда бир топ кичине көрүнөт, бирок гиперболалык геометриянын көз карашынан алганда, бардык үч бурчтуктар бирдей. Эгерде биз бул үч бурчтуктарды чындап эле бирдей өлчөмдө көрсөтүүгө аракет кылсак - балким, ийкемдүү материалды колдонуп, ар бир үч бурчтукту өз кезегинде үйлөп, борбордон сыртты көздөй жылдырсак - биздин дискибиз кең кырдуу шляпага окшошуп, барган сайын ийилип калмак. Ал эми чек арага жакындаган сайын бул ийрилик көзөмөлдөн чыгып кетет.

Кадимки Евклиддик геометрияда тегеректин айланасы анын радиусуна түз пропорционалдуу, ал эми гиперболалык геометрияда тегерек радиуска салыштырмалуу экспоненциалдуу өсөт. Гиперболалык дисктин чегине жакын жерде үч бурчтуктардын үймөгү пайда болот

Бул өзгөчөлүгүнөн улам математиктер гиперболикалык мейкиндикте адашып кетүү оңой экенин айтышканды жакшы көрүшөт. Эгер досуңуз кадимки Евклид мейкиндигинде сизден алыстап кетсе, ал алыстап баштайт, тескерисинче, акырындык менен жылып баштайт, анткени сиздин көрүү чөйрөңүз анчалык тез өсө бербейт. Гиперболикалык мейкиндикте көрүү чөйрөңүз экспоненциалдуу түрдө кеңейет, андыктан досуңуз жакында чексиз кичинекей такка чейин кичирейет. Демек, эгер сиз анын жолуна түшпөсөңүз, кийинчерээк аны таба албайсыз.

Гиперболикалык геометрияда да үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы 180 градустан кем эмес - мисалы, Пуанкаре дискинин мозаикасынан кээ бир үч бурчтуктардын бурчтарынын суммасы болгону 165 градус.

Алардын капталдары кыйыр болуп көрүнөт, бирок бул биз гиперболикалык геометрияны бурмалоочу линза аркылуу карап жатканыбыз үчүн. Пуанкаре дискинин жашоочусу үчүн бул ийри сызыктар чындыгында түз сызыктар, андыктан А чекитинен В чекитине (экөө тең четинде) жетүүнүн эң ылдам жолу борборго кесүү аркылуу болот.

Пуанкаре дискинин үч өлчөмдүү аналогун жасоонун табигый жолу бар – үч өлчөмдүү шарды алып, аны үч өлчөмдүү фигуралар менен толтуруңуз, алар Пуанкаре дискиндеги үч бурчтуктар сыяктуу чек ара сферасына жакындаган сайын азаят. Жана тегиздиктер жана шарлар сыяктуу эле, биз үч өлчөмдүү гиперболикалык топтун ылайыктуу бөлүктөрүн кесип жана анын беттерин чаптоо аркылуу башка үч өлчөмдүү гиперболикалык мейкиндиктердин бүтүндөй бир тобун түзө алабыз.

Ооба, биздин Аалам гиперболикалыкпы?

Гиперболикалык геометрия өзүнүн кууш үч бурчтуктары жана экспоненциалдуу өсүп жаткан тегерекчелери менен бизди курчап турган мейкиндикке такыр окшошпойт. Чынында эле, биз буга чейин белгилегендей, космологиялык өлчөөлөрдүн көбү жалпак ааламга ыктайт.

Бирок биз тоголок же гиперболалык дүйнөдө жашап жатканыбызды жокко чыгара албайбыз, анткени эки дүйнөнүн тең кичинекей фрагменттери дээрлик жалпак көрүнөт. Мисалы, сфералык геометрияда кичинекей үч бурчтуктардын бурчтарынын суммасы 180 градустан бир аз гана ашат, ал эми гиперболалык геометрияда бир аз гана азыраак.

Ошондуктан байыркылар Жерди тегиз деп ойлошкон – Жердин ийрилиги көзгө көрүнбөйт. Сфералык же гиперболалык форма канчалык чоң болсо, анын ар бир бөлүгү ошончолук жалпак болот, демек, биздин Аалам өтө чоң сфералык же гиперболалык формага ээ болсо, анын көрүнгөн бөлүгү жалпак болуп ушунчалык жакын болгондуктан, анын ийрилиги өтө так приборлор менен гана аныкталат. жана биз аларды али ойлоп таба элекпиз. …